收集的一些算法题（面试专用）

一.题目描述：

设有n个正整数，将它们联接成一排，组成一个最小的多位整数。

程序输入：n个数

程序输出：联接成的多位数

例如：

n=2时，2个整数32，321连接成的最小整数为：32132，

n=4时，4个整数55，31，312, 33 联接成的最小整数为：312313355

[题目要求]

1. 给出伪代码即可，请给出对应的文字说明，并使用上面给出的例子试验你的算法。

2. 给出算法的时间空间复杂度。

3. 证明你的算法。（非常重要）

基本思路：

按照从数字的最左边开始，采用基数排序的方法。大致如下：

设初始数字集合为S

取位数最小值为gap

取每个数字最左gap个数字，得到集合A，对A中的数字按基数排序算法进行排序，得到A‘

对于A’中的每个桶，分别做如下操作：

取S中相应的数字去掉gap个前缀，设为Bi。如果某个数字删去前缀后为空，则不删除，原数保留不变放入Bi中

对Bi的数字按基数排序算法进行排序，得到Bi‘

所有桶中做完后，递归调用直到S中的数都为空为止

比如：S={31，3154，54，53}

第一遍基数排序（gap=2）：

桶 数字集合

桶3 31， 31
桶5 54， 53

对每个桶中的数字排序

桶 数字集合

桶3 31， 31
桶5 53， 54

S={null, 3154, null, null}
桶 数字集合
桶3 31（有其他数字，它不变）， 54
桶5 没有数字了，结束


对桶3中的数字排序

桶 数字集合

桶3 31， 54

S={null, null, null, null}

最后的顺序为：31，3154，53，54

二、寻找热门查询：
搜索引擎会通过日志文件把用户每次检索使用的所有检索串都记录下来，每个查询串的长度为1-255字节。假设目前有一千万个记录，这些查询串的重复度比较高，虽然总数是1千万，但如果除去重复后，不超过3百万个。一个查询串的重复度越高，说明查询它的用户越多，也就是越热门。请你统计最热门的10个查询串，要求使用的内存不能超过1G。
（1）请描述你解决这个问题的思路；
（2）请给出主要的处理流程，算法，以及算法的复杂度。

解法：
(1)思路：
用哈希做
(2)首先逐次读入查询串，算哈希值，保存在内存数组中，同时统计频度（注意值与日志项对应关系）选出前十的频度，取出对应的日志串，简单不过了。
哈希的设计是关键。


三、英文拼写纠错：
在用户输入英文单词时，经常发生错误，我们需要对其进行纠错。假设已经有一个包含了正确英文单词的词典，请你设计一个拼写纠错的程序。
（1）请描述你解决这个问题的思路；
（2）请给出主要的处理流程，算法，以及算法的复杂度；
（3）请描述可能的改进（改进的方向如效果，性能等等，这是一个开放问题）。

解法：

(1)思路 :
字典以字母键树组织，在用户输入同时匹配
(2)
流程:
每输入一个字母：
沿字典树向下一层，
a）若可以顺利下行，则继续至结束，给出结果；
b)若该处不能匹配，纠错处理，给出拼写建议,继续至a）；
算法:
1.在字典中查找单词
字典采用27叉树组织,每个节点对应一个字母,查找就是一个字母一个字母匹配.算法时间就是单词的长度k.
2.纠错算法
情况:当输入的最后一个字母不能匹配时就提示出错,简化出错处理，动态提示可能处理方法:
(a)当前字母前缺少了一个字母：搜索树上两层到当前的匹配作为建议；
(b)当前字母拼写错误：当前字母的键盘相邻作为提示；（只是简单的描述，可以有更多的）根据分析字典特征和用户单词已输入部分选择(a),(b)处理

复杂性分析：影响算法的效率主要是字典的实现与纠错处理
(a)字典的实现已有成熟的算法，改进不大，也不会成为瓶颈；
(b)纠错策略要简单有效 ,如前述情况，是线性复杂度；
(3)改进
策略选择最是重要，可以采用统计学习的方法改进。

四、集合合并：
给定一个字符串的集合，格式如：{aaa bbb ccc}， {bbb ddd}，{eee fff}，{ggg}，{ddd hhh}要求将其中交集不为空的集合合并，要求合并完成后的集合之间无交集，例如上例应输出{aaa bbb ccc ddd hhh}，{eee fff}， {ggg}
（1）请描述你解决这个问题的思路；
（2）请给出主要的处理流程，算法，以及算法的复杂度
（3）请描述可能的改进（改进的方向如效果，性能等等，这是一个开放问题）。

解法：

（1）思路：先将集合按照大小排列后,优先考虑小的集合是否与大的集合有交集。有就合并，如果小集合与所有其他集合都没有交集，则独立。独立的集合在下一轮的比较中不用考虑。这样就可以尽量减少字符串的比较次数。当所有集合都独立的时候，就终止。
（2）处理流程：
1.将集合按照大小排序，组成集合合并待处理列表
2.选择最小的集合，找出与之有交集的集合，

如果有，合并之；
如果无，则与其它集合是独立集合，从待处理列表 中删除。
3.重复直到待处理列表为空

算法：
1。将集合按照大小从小到大排序,组成待处理的集合列表。
2。取出待处理集合列表中最小的集合，对于集合的每个元素，依次在其他集合中搜索是否有此元素存在：
1>若存在，则将此小集合与大集合合并，并根据大小插入对应的位置 。转3。
2>若不存在，则在该集合中取下一个元素。如果无下一个元素，即所有元素都不存在于其他集合。则表明此集合独立，从待处理集合列表中删除。并加入结果集合列表。转3。
3。如果待处理集合列表不为空，转2。如果待处理集合列表为空，成功退出，则结果集合列表就是最终的输出。

算法复杂度分析：
假设集合的个数为n，最大的集合元素为m排序的时间复杂度可以达到n*log(n)，然后对于元素在其他集合中查找，最坏情况下为（n-1）*m，查找一个集合是否与其他集合有交集的最坏情况是m*m*(n-1)
合并的时间复杂度不会超过查找集合有交集的最坏情况。所以最终最坏时间复杂度为O(m*m*n*n)。

需要说明的是：此算法的平均时间复杂度会很低，因为无论是查找还是合并，都是处于最坏情况的概率很小，而且排序后优先用最小集合作为判断是否独立的对象，优先与最大的集合进行比较，这些都最大的回避了最坏情况。
(3)可能的改进：
首先可以实现将每个集合里面的字符串按照字典序进行排列，这样就可以将查找以及合并的效率增高。另外，可能采取恰当的数据结构也可以将查找以及合并等操作的效率得到提高。

五、蚂蚁走木棍：
有一根27厘米的细木杆，在第3厘米、7厘米、11厘米、17厘米、23厘米这五个位置上各有一只蚂蚁。木杆很细，不能同时通过一只蚂蚁。开始时，蚂蚁的头朝左还是朝右是任意的，它们只会朝前走或调头，但不会后退。当任意两只蚂蚁碰头时，两只蚂蚁会同时调头朝反方向走。假设蚂蚁们每秒钟可以走一厘米的距离。编写程序，求所有蚂蚁都离开木杆的最小时间和最大时间。

方法一：

程序模拟所有蚂蚁爬行过程，然后计算出所需时间，针对所有情况（不同初始方向），然后得到最小值和最大值。要注意的是相邻奇数距离时相遇时的特殊情况处理。

方法二：

思路：分析两个或三个蚂蚁的情况，可以得出，每个蚂蚁所走的冤枉路，是为其他蚂蚁走的。所以，总的来说，我们可以看成是当蚂蚁相遇时，可以等价看成它们方向不变（因为总会有个蚂蚁要往前走的），让蚂蚁继续往前走，直到走出木棍。这样的效果可以看成蚂蚁的名字换到其他蚂蚁身上了。所以，所有蚂蚁所需时间只取决于它们的初始位置和方向，每个蚂蚁都往前走，只要走出木棍就可以了，算出每个蚂蚁所用时间，从中选出最小和最大值就可以了。

六、系统设计

在一个有1000万用户的系统中，设计一个推送(feed)系统。以下是一些预定义概念

1、用户：在这个系统中，每个用户用一个递增的unsigned int来表示user id(简写为uid)；则uid的范围是从1到1000万的正整数。

2、好友：用户之间可以形成好友关系，好友是双向的；比如说uid为3和uid为4的两个用户可以互为好友。每个用户好友的上限是500个；用户之间的好友关系可以被解除

3、活动：每个用户只能发文章；文章可以被作者删除，其他人不能删除非自己发表的文章；每篇文章通过一个blogid表示。

4、feed：我们希望，每个用户可以看到他所有好友的活动列表，在这个简化的系统中就是所有好友的文章更新列表。

5、访问量要求：所有feed访问量每天在1亿量级；所有的blogid增加量每天在百万量级。

题目：请在以上限制条件下，设计一个高效的feed访问系统。要求：

1、能够尽快的返回每个用户的好友feed列表，每个用户可以最多保留1000条feed；feed的展现按照时间倒排序，最新的在最前面

2、用户删除某篇文章后，被推出去的feed需要及时消失。即每个用户看到的好友feed都是未被删除的

3、尽可能高效